講義ノート・補足資料

公開用講義ノートについて

公開している講義ノートでは、成績評価、試験、教科書、授業日程など、年度ごとの授業運営に関するスライドを一部省略しています。これらの情報については、当該年度のシラバスおよび授業内の案内を確認してください。

曲面や結び目などを題材に、図を見ながらトポロジーの考え方に触れる講義です。講義資料の一部を公開しています。

第1回　「同じ形」とは何だろう？図形の合同と同相を比べ、トポロジーで「同じ形」と考える意味を紹介します。不変量を使って、形の違いを調べます。 PDFを開く →

第2回　巡り方とつなぎ方の数学一筆書きの条件と、クラスカル法（Kruskal法）で最小全域木を作る方法を、グラフを使って考えます。水道のバックアップ経路も紹介します。 PDFを開く →

第3回　数えてわかる形の違い曲面の頂点・辺・面からオイラー標数を計算し、球面やトーラスの違いを調べます。正多面体やサッカーボールの面の並びも扱います。 PDFを開く →

第4回　貼り合わせて作る曲面紙や帯の境界を貼り合わせ、メビウスの帯、射影平面、クラインのつぼを作ります。境界の本数や向き付け、オイラー標数に注目して、曲面の性質を比べます。 PDFを開く →

第5回　閉曲面を分類するトーラスや射影平面の連結和を作り、向き付け可能性とオイラー標数で閉曲面を分類します。種数の求め方や、身近な物の表面の例も紹介します。 PDFを開く →

ベクトル、内積、外積、ベクトル関数、場、勾配、方向微分、ポテンシャル、発散、ラプラシアン、回転、空間曲線、弧長、曲率、線積分、曲面、面積素、面積分、流束、閉曲面、体積分、グリーンの定理、ガウスの発散定理、調和関数への応用、ストークスの定理、流線・流管・渦管などについての公開版講義ノートです。

第1回　ベクトル・内積・外積ベクトル、加法、スカラー倍、内積、外積 PDFを開く →

第2回　外積と三重積外積の基本的な性質、外積の幾何学的意味、スカラー三重積、ベクトル三重積 PDFを開く →

第3回　ベクトル関数の微分と積分ベクトル関数、ベクトル関数の微分、微分の公式、ベクトル関数の積分、変位・速度・加速度 PDFを開く →

第4回　場・勾配・方向微分係数場、スカラー場、ベクトル場、等位線・等位面、勾配、方向微分係数 PDFを開く →

第5回　ポテンシャルと発散ポテンシャル、発散、ラプラスの方程式、ラプラシアン、調和関数 PDFを開く →

第6回　回転とポテンシャル回転、回転の解釈、回転の計算、回転の公式、回転とポテンシャル、これまでのまとめ問題 PDFを開く →

7回目は中間試験のため、公開版講義ノートはありません。

第8回　空間曲線と曲率空間曲線、接ベクトル、弧長・弧長パラメータ、接単位ベクトル、曲率、スカラーの線積分 PDFを開く →

第9回　線積分と面積分スカラー線積分の性質、ベクトル線積分、ポテンシャルと循環、曲面の媒介変数表示、面積素、スカラー・ベクトルの面積分 PDFを開く →

第10回　面積分と体積分スカラー・ベクトルの面積分の計算、曲面の向き、流束と閉曲面、陰関数表示された曲面、体積分 PDFを開く →

第11回　グリーンの定理平面領域と境界の向き、グリーンの定理（回転型・発散型）、循環、流束、回転・発散の意味 PDFを開く →

第12回　ガウスの発散定理ガウスの発散定理、境界を通る流束と内部の発散、定理が成り立つ理由、計算例、調和関数への応用

補足資料単位立方体の6面をそれぞれ媒介変数表示し、ベクトル面積分の定義から外向き流束を詳しく計算

第13回　ストークスの定理ストークスの定理、曲面と境界の向き、グリーンの定理との関係、ポテンシャル場、流線・流管・渦管 PDFを開く →