掃き出し法(逆行列を用いた解法)
＜定義＞
連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)において，係数行列\(A\)と
定数項のベクトル\(\boldsymbol{b}\)を並べた行列\(\begin{pmatrix} A|\boldsymbol{b} \end{pmatrix}\)を
拡大係数行列と呼び，これを\(\begin{pmatrix} E|\boldsymbol{u} \end{pmatrix}\)の形に
行基本変形を用いて変形することで，
解\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{u}\)が求められる，という解法である．
＜例＞
\(\begin{eqnarray} \left\{
\begin{array}{l}
x + 3y = 11 \\
-2x + y = -8
\end{array}
\right.\end{eqnarray}\)の拡大係数行列は
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
-2 & 1 & -8
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\) となり，
↓ 1行目を2倍したものを2行目に加える
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 7 & 14
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
↓ 2行目を1/7倍する
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
↓ 2行目を-3倍したものを1行目に加える
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
よって解は\(x=5,y=2\)
連立1次方程式の解法であるので，
上図のように，赤色と青色のベクトルをいくつ用いれば，
緑色の平行四辺形を作ることができるかを考える．
＜例＞の値を用いると
\(\begin{bmatrix} 11 \\ -8 \end{bmatrix}\)を作るためには
\(\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\)と\(\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\)を
いくつ用いればよいかを考えればよい．
ここで赤と青のベクトルを単位ベクトルにして考えることが
できればそれぞれがいくつ必要になるか考えやすい．
要するに，平行四辺形を大きさ1の正方形に変換し，
黒ベクトルにも同様の変換を行うことで解を求める.
つまり，
させるという
考え方が掃き出し法である．
＜例＞の拡大係数行列は次のように変換される
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
-2 & 1 & -8
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
初期状態
＜例＞の拡大係数行列は次のように変換される
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
-2 & 1 & -8
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\) →
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 7 & 14
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
1行目を2倍したものを2行目に加える．
各ベクトルはy軸に平行に変換され，
赤ベクトルは\(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)の単位ベクトルとなる．
＜例＞の拡大係数行列は次のように変換される
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 7 & 14
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\) →
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
2行目を1/7倍する．
各ベクトルのy軸方向の成分が1/7倍される．
＜例＞の拡大係数行列は次のように変換される
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 3 & 11 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\) →
\(\small{\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)\end{eqnarray}}\)
2行目を-3倍したものを1行目に加える．
各ベクトルはx軸に平行に変換され，
青ベクトルは\(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)の単位ベクトルとなる．
このときの黒ベクトルは\(\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\)となり，
黒ベクトルを作るために，赤と青のベクトルが
それぞれ5つと2つ必要であることがわかる．
したがって，解は\(x=5,y=2\)である．
最初に述べたように，逆行列を用いて単位ベクトルに
帰着させて考えているので，
連立方程式を
\(\small{\begin{bmatrix}
1 & 3 \\ -2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
11 \\ -8
\end{bmatrix}}\)と表し，
左から係数行列の逆行列をかけて
解を求めていることと同義である．
また，この変換を元の連立方程式上で行うと，
\(\small{\begin{eqnarray} \left\{
\begin{array}{l}
x + 3y = 11 \\
-2x + y = -8
\end{array}
\right.\end{eqnarray}}\) →
\(\small{\begin{eqnarray} \left\{
\begin{array}{l}
x + 3y = 11 \\
0x + 7y = 14
\end{array}
\right.\end{eqnarray}}\) →
\(\small{\begin{eqnarray} \left\{
\begin{array}{l}
x = 5 \\
y = 2
\end{array}
\right.\end{eqnarray}}\)
となり，消去法を行っていることとも同義である．