行基本変形
行列に対する以下の操作を行基本変形という．
(1)\(i\)行目を\(c\)倍する．
(2)\(i\)行目を\(c\)倍したものを\(j\)行目に加える．
(3)\(i\)行目と\(j\)行目を入れ替える．
＜例＞ (ある行列を単位行列に変形するまで)
\(\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\)
↓1行目を2倍したものを2行目に加える
\(\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 13 & 0 \end{bmatrix}\)
↓2行目を1/13倍し，
さらに－4倍したものを1行目に加える
\(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
↓1行目を-1倍し1,2行目を入れ替える
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
行基本変形の各操作について説明する．
(1)
\(\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\)に対して1行目を\(c\)倍すると
\(\begin{bmatrix} ca_{1} & cb_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\)
つまり上図のように各ベクトルが\(x\)軸方向に平行に
\(c\)倍される．
このときの行列式を考えると
\(\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2},\)
\(\begin{vmatrix} ca_{1} & cb_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = c(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})\)
となり，(1)の操作は平行四辺形の面積も\(c\)倍されている．
(2)
行列\(\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\)に対して
1行目を\(c\)倍したものを2行目に加えると
\(\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ ca_{1}+a_{2} & cb_{1}+b_{2} \end{bmatrix}\)となる．
(2)
このときの行列式は，
\(\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ ca_{1}+a_{2} & cb_{1}+b_{2} \end{vmatrix}
&=& a_{1}(cb_{1}+b_{2})-b_{1}(ca_{1}+a_{2}) \\
&=& ca_{1}b_{1}+a_{1}b_{2}-(ca_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}) \\
&=& a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}
\end{eqnarray}\)
となり，この操作において図形は\(x\)軸もしくは\(y\)軸に
平行な変形が行われ，行列式の値(面積)は
変わっていないことがわかる．
(3)
\(\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}\)の1行目と2行目を入れ替えると
\(\begin{bmatrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{1} & b_{1} \end{bmatrix}\)
すると上図のように\(y=x\)を軸に反転した図形となる．
行列式は\(\begin{eqnarray}\begin{vmatrix}
a_{2} & b_{2} \\ a_{1} & b_{1}\end{vmatrix}
&=& a_{2}b_{1} - b_{2}a_{1} \\
&=& -(a_{1}b_{2} - b_{1}a_{2})
\end{eqnarray}\)
となり，元の行列式の値と符号が反転する．
左の例では上図のような変形を行っていることになる．