rank(階数)
＜定義＞
任意の行列\(A\)に対して線形独立な
列(行)ベクトルの個数を\(rank\)(階数)といい，
\(rank A\)と表す．
行基本変形を用いて簡約化を行ったときの
零ベクトルでない行の数がその値となる．
＜例＞
(1)
\(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\)→
\(A'=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
\(rankA=2\)
(2)
\(B=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\)→
\(B'=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(rankB=1\)
(3)
\(C=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{bmatrix}\)
\(C'=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(rankC=2\)
線形独立なベクトルの個数が\(rank\)である．
つまり，対象の行列が最低何次元で表すことができるか，
また，その変換によって何次元空間に像が写されるか，
を考えていることになる．
例えば(1)の例では，上図のように\(A=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\)を
簡約化することで\(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)となり，\(rank\)は\(2\)．
したがって，\(A\)は
を行う行列である．
(2)は2×2の行列であるが，簡約化を行うと
2行目が零ベクトルとなり，\(rank\)は1である．
上図のようにこの\(B\)は直線であり，
\(B\)による変換で
．
同様に(3)は3×3の行列であるが，\(rank\)は2である．
そのため，上図のように\(C\)は平面であり，
\(C\)は
を行う.
また，このように簡約化を行ったときに零ベクトルが
存在するとき，つまり，\(n\)行の行列\(X\)に対し\(rankX \lt n\)
であるとき，\(X\)の逆行列や行列式も存在しない．