対角化
＜定義＞
\(n\)次正方行列|\(A\)に対し，ある正則な行列\(P\)を
用いて，以下の式の相似変換を行うことで，
対角行列\(D\)を求めることをいう．
\(P^{-1}AP=D\)
＜例＞
\(A=\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)の対角化
\(|A-\lambda E|=0\)より，
\(A\)の固有値は\(3,2\)，固有ベクトルは\(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore P=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},P^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
したがって，\(P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
このように対角化を行うことで，\(A\)の累乗計算を
行う際の計算量を大幅に減らすことができる．
\((P^{-1}AP)^{n} = P^{-1}A^{n}P = \begin{bmatrix} 3^{n} & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{bmatrix}\)
\(\begin{eqnarray} \rightarrow
A^{n} &=& PP^{-1}A^{n}PP^{-1} \\
&=& P\begin{bmatrix} 3^{n} & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{bmatrix}P^{-1}
\end{eqnarray} \)
行列の累乗計算を行うとき，
\(\small{ A=\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{2}=\begin{bmatrix} 14 & -10 \\ 5 & -11 \end{bmatrix} }\) となるが，
累乗の数が多いと計算量も多くなり，煩雑になる．
実際に上図のように
と変換しても
累乗のイメージはしづらい．
ここで固有ベクトルを用いる．
固有ベクトルは，その行列による変換で方向が
変わらず，固有値倍だけされるものである．
つまり，固有ベクトルを基底(単位ベクトル)とした
空間を考えれば，
前後で
作用させたベクトルの向きは変わらず，
変換の様子がイメージしやすくなるはずである．
上図は\(P\)を基底とした空間である．
させると，それぞれのベクトルは
軸(固有ベクトルの方向)に沿って固有値倍される．
値としては，\(\small{ AP = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} }\)となるが，
変形格子上の値を考えると\(\small{ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }\)となる．
ここからさらに\(A\)を作用しても，それぞれの軸の方向に
固有値倍されるだけである．
\(P\)を基底とした空間での動作をまとめると
\(\small{ P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ AP = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ A^{2}P = \begin{bmatrix} 18 & 4 \\ 9 & 4 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ A^{3}P = \begin{bmatrix} 54 & 8 \\ 27 & 8 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} }\)
ここに\(P^{-1}\)を作用させると，今の図形の移り変わりが
元の大きさ1の正方形の格子上での変換として
考えることができる．
\(\small{ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}A^{2}P = \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}A^{3}P = \begin{bmatrix} 27 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} }\)
最後に，元の写像に戻すために
をすると
例えば\(A^{2}\)については，図のように変換される．
\(P^{-1}A^{2}P \quad \rightarrow \quad PP^{-1}A^{2}PP^{-1}\)
これは\(A^{2} = \begin{bmatrix} 14 & -10 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)と一致する．
このように対角化とは，ある正方行列に関して
異なる基底で表現することで計算しやすい形に
落とし込む操作だといえる．