ジョルダン標準形
＜定義＞
以下の\(n\)次正方行列をジョルダン細胞という．
\(\tiny{ \begin{eqnarray}\begin{bmatrix}
\lambda & 1 & & 0 \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda
\end{bmatrix}\end{eqnarray} }\) \((n \geqq 2)\)，
\(\begin{bmatrix} \lambda \end{bmatrix}\) \((n = 1)\)
そして，このジョルダン細胞が対角行列の
要素として対角線上にならんだ正方行列を
ジョルダン標準形と呼ぶ．
\(\tiny{ \begin{eqnarray}\left[\begin{array}{c:cc:c:ccc}
\lambda_1 & & & & 0 \\ \hdashline
& \lambda_2 & 1 & & \\
& & \lambda_2 & & \\ \hdashline
& & & \ddots & \\ \hdashline
0 & & & & \lambda_m
\end{array}\right]\end{eqnarray} }\)
＜例＞
\(\small{ A= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} }\)のジョルダン標準形
\(\small{ |A-\lambda E| = 0 }\)より，
固有値\(\small{ \lambda=2 }\)(重解)，固有ベクトル\(\small{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} }\)
ここでもう一つベクトルを求めるために
\(\small{ (A-\lambda E) \boldsymbol{x'} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} }\)として
線形独立なベクトル\(\small{ \boldsymbol{x'} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} }\)を求める．
\(\small{ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} } \)とすると,\(\small{P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}} \)
正方行列がすべて対角化できるわけではない．
例の行列\(\small{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} }\)は\(2×2\)行列であるが，
固有値を求める際重解となり，
しか
求められない．
そこで，疑似的に固有ベクトルと線形独立なベクトルを
用意して，少しでも対角化に近い形をつくる．
固有ベクトルを求める際，\(\small{ |A-\lambda E|\boldsymbol{x}=0 }\)から求める．
「固有値・固有ベクトル」のページでも述べたように，
固有ベクトルは\(\small{ (A-\lambda E) }\)を作用させることで0になる
ベクトルである．
そこで，求められた固有ベクトル
を用いて，
\(\small{ |A-\lambda E|\boldsymbol{x'} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} }\)とおくことで，
を求める．
固有ベクトル\(\small{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} }\)と求められたベクトル\(\small{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} }\)を用いて
\(\small{ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} } \)とし，
を考える．
ここで\(\small{ A } \)を作用させると上図のように
となる．
変形格子上の動作は次の通りである．
\(\small{ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ AP = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ A^{2}P = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ -2 & -4 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ A^{3}P = \begin{bmatrix} 16 & 20 \\ -8 & -12 \end{bmatrix} }\) 変形格子上\(\small{ \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} }\)
そして\(P^{-1}\)を作用させ，元の格子上での変化を見ると，
上図のようになる．
\(\small{ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}A^{2}P = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} }\)
\(\small{ P^{-1}A^{3}P = \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} }\)
上記は行列
である.
このように，ジョルダン標準形は対角化ができない
行列に対して，少しでも対角化に近い形にすることで
計算しやすい形にする，次善の策であるということが
できる．