行列式―余因子展開

＜定義＞
　任意の行列\(A\)の行列式について
　\(\small{ \begin{eqnarray} &|A|=& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\ &　=& a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} \\ &　+& a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} 　(第1行で展開)\\ &　=& a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{22}(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} \\ &　+& a_{32}(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix} 　(第2列で展開) \end{eqnarray} }\)

　というように，各行・列において展開することを，
　余因子展開といい，\(i\)行\(j\)列を取り除いた行列の
　行列式に\((-1)^{i+j}\)を掛け合わせたものを
　\((i,j)\)成分の余因子という．

　例えば，\(A\)の\((2,1)\)成分の余因子\(\Delta_{21}\)は
　　　\(\Delta_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)　となる．