ジョルダン標準形に関して，
\(2×2\)行列では\(3\)パターン，
\(3×3\)行列では\(6\)パターンの形が存在する．
それぞれのパターンについて説明する．
\((1)\) \(\small{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }\) 固有値の重解は無し，対角化可
行列例
\(\small{ A= \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(3,2\)，固有ベクトルは
，
よって固有値に重解は無いため，固有ベクトルは
2つ存在し，
を張ることができる．
\((2)\) \(\small{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化可
行列例
\(\small{ A= \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(3(重解)\)，
は平面上のすべての
ベクトル．
固有値に重解はあるが，固有ベクトルは任意に決める
ことができるため
を張ることができる．
また，このパターンにおいては最初から対角化の形に
なっている行列を扱うときにのみ存在するパターンである．
\((3)\) \(\small{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化不可
行列例
\(\small{ A= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(2(重解)\)，固有ベクトルは
重解のため，
を固有ベクトルから
求め，一般固有空間として
を張る．
\((4)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} }\) 固有値の重解は無し，対角化可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 1 & 6 & -1 \\ -2 & -1 & 5 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(3,5,8\)
固有ベクトルは
，
，
\((4)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} }\) 固有値の重解は無し，対角化可
よって固有値に重解は無いため，固有ベクトルは
3つ存在し，
を張ることができる．
また，このパターンは(1)のパターンの拡張とも
考えることができる．
(外枠を付けて同じ変化をします)
\((5)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & 3 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(2(重解),-1\)，固有ベクトルは
が
描く平面上のベクトルと
\((5)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化可
よって固有値に重解は存在するが，固有ベクトルは
3つ存在し，
を張ることができる．
また，このパターンは(1)と(2)のパターンを
組み合わせたものと考えることができる．
\((6)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(2(重解)\)，
は3次元空間上の
すべてのベクトル．
固有値は重解を持つが，固有ベクトルは任意に
決められるため，
を張ることができる．
\((6)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化可
また，このパターンにおいては最初から対角化の形に
なっている行列を扱うときにのみ存在するパターンである．
よって，(2)のパターンの拡張と考えることができる．
\((7)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化不可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(1(重解),2\)，固有ベクトルは
，
よって，
を固有ベクトルから求め，
一般固有空間として
を張る．
\((7)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }\) 固有値は二重解，対角化不可
また，このパターンは(1)と(3)のパターンを
組み合わせたものと考えることができる．
\((8)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化不可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(2(重解)\)，固有ベクトルは
が
描く平面上のすべてのベクトル．
よってこの平面上から
を求める．
\((8)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化不可
そして，求められたベクトルを用いて
を張る．
また，このパターンは(2)と(3)のパターンを
組み合わせたものと考えることができる．
\((9)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化不可
行列例
\(A= \scriptsize{ \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} }\)
\((A-\lambda E)[\boldsymbol x]=0\)より，
固有値は\(2(重解)\)，固有ベクトルは
よって，固有ベクトルから
を求め，
一般固有ベクトルからさらに
を求める．
\((9)\) \(\scriptsize{ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_1 \end{bmatrix} }\) 固有値は三重解，対角化不可
そして，求められたベクトルを用いて
を張る．
また，このパターンは(3)のパターンの拡張である
と考えることができる．