たわみの基礎方程式を導くこと

• 曲率とモーメントの関係
  

  $$\frac{1}{R}=\frac{M}{EI}$$ (1.5)

  
  

と，はりのたわみに関する幾何学的な考察から得られる次の3つの関係式を使うことではりの基礎方程式を導くことができる．

• たわみ角とたわみ曲線の勾配
  

  $$\frac{dy}{dx} = \tan i$$ (1.6)

  
  

• 微小線素 $ds$ ，$dx$ とたわみ角の関係
  

  $$\frac{dx} {ds} = \cos i$$ (1.7)

  
  

• 曲率半径 $R$ と微小線素 $ds$ の関係
  

  $$ds = -R di$$ (1.8)

  
  

式(1.8)から

$$\frac{1}{R} = - \frac{di}{ds} = - \frac{di}{dx} \frac{dx}{ds}$$ (1.9)

上式に式(1.7)を代入

$$\frac{1}{R} = - - \frac{di}{dx} \cos i$$ (1.10)

一方，式(1.6)を$x$で微分して

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d( \tan i ) }{ dx} = \frac{d( \tan i ) }{ di} \frac{di}{dx} = \frac{1}{\cos^2 i} \: \frac{di}{dx}$$ (1.11)

したがって

$$\frac{di}{dx} = \cos^2 i \: \frac{d^2y}{dx^2}$$ (1.12)

式(1.10)に上式を代入すれば

$$\frac{1}{R} = - \frac{di}{dx} \cos i = - \cos^3 i \frac{d^2y}{dx^2}$$ (1.13)

たわみ角 $i$ が微小（ $\cos i \cong 1$）であることと考慮すると，曲率半径は以下のように近似できる．

$$\frac{1}{R} = - \frac{d^2y}{dx^2}$$ (1.14)

すなわち式(1.5)に上式を代入すれば，たわみの基礎方程式

$$\frac{d^2 y}{d x^2} = - \frac{M}{EI}$$ (1.15)

が得られる．

図 1.3: はりのたわみ

図 1.4: 微小はり要素