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たわみの基礎方程式を導くこと

曲率とモーメントの関係

$\begin{displaymath} \frac{1}{R}=\frac{M}{EI} \end{displaymath}$ (1.5)

と，はりのたわみに関する幾何学的な考察から得られる次の3つの関係式を使うことではりの基礎方程式を導くことができる．

たわみ角とたわみ曲線の勾配

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} = \tan i \end{displaymath}$ (1.6)
微小線素，とたわみ角の関係

$\begin{displaymath} \frac{dx} {ds} = \cos i \end{displaymath}$ (1.7)
曲率半径と微小線素の関係

$\begin{displaymath} ds = -R di \end{displaymath}$ (1.8)

式(1.8)から

$\begin{displaymath} \frac{1}{R} = - \frac{di}{ds} = - \frac{di}{dx} \frac{dx}{ds} \end{displaymath}$

(1.9)

上式に式(1.7)を代入

$\begin{displaymath} \frac{1}{R} = - - \frac{di}{dx} \cos i \end{displaymath}$

(1.10)

一方，式(1.6)を

で微分して

$\begin{displaymath} \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d( \tan i ) }{ dx} = \frac{d( \tan i ) }{ di} \frac{di}{dx} = \frac{1}{\cos^2 i} \: \frac{di}{dx} \end{displaymath}$