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Tokyo University of Agriculture and Technology Division of Mathematical Sciences, Institute of Engineering  
Division of Mathematical Sciences, Institute of Engineering, Tokyo University of Agriculture and Technology

微分積分学Ⅱおよび演習
 
概要
  多変数関数の微分積分に関する諸概念を理解し，習得します．また，演習をとおして確実な計算力を身につけることを目標とします．高等学校では扱われなかった概念が多く出てくるので，はじめはやや難しく感じられるかもしれません．しかし，多変数関数を用いることで多くの自然現象を記述することが可能となります．
講義では2変数関数を主に扱います． 2変数関数は一般に曲面を表していて，視覚的にも捉えやすい対象です．まず2変数以上の関数について偏微分を学び，応用として関数の極値の判定法について学びます．次に2重積分や3重積分を学び，応用として図形の体積を計算します．平面上の線積分についても定義し，最後に無限級数について学習します．とくに多変数の微分積分学では，その概念を図形的に理解することが重要となるので，できるだけ図形を描いて直感的に理解できるよう演習を行います．
到達基準
  この講義の目標は，2変数関数，多変数関数の微分積分に関する諸概念を理解し，具体的な計算ができるようになることです．
本科目のディプロマ・ポリシーの観点：履修案内のカリキュラムマップを参照してください．
授業内容
 

1. 2変数関数の極限と連続: 連続関数や不連続な関数の例を示す．
2. 偏微分と全微分: 計算の技術として偏微分を学ぶ．合成関数の微分も1変数関数をお手本にする．偏微分より強い全微分の概念を導入する．全微分可能ならば関数は連続となる．
3. 高次偏導関数，合成関数の偏微分．
4. 2変数関数のテイラーの定理，2変数関数の極値: 2変数関数のテイラーの定理を学ぶ．1変数関数の時と同様に， n回偏微分可能な関数が2変数の多項式に近似できることを示している．これを利用して極値を調べることができる．
5. 2変数関数の極値: 2変数関数の極値を調べる．判別式で判別する．
6. まとめ
　　 中間試験
 7. 2重積分: 2重積分を定義し，計算法を学ぶ，1変数関数の積分を2回繰り返して得られる(累次積分)．
8. 変数変換: 変数変換と極座標による変換．ヤコビアンという関数行列式を学ぶ．
9. 3重積分，空間の極座標による変換: 2重積分と同様にして3重積分が定義できるが，計算も同じように1変数関数の積分を3回繰り返して得られる．
10. 広義積分: 不連続点を有限個含む場合と非有界な領域の上での積分を考える．
11. 体積と曲面積: 2つの曲面で囲まれた立体の体積と曲面の面積を2重積分で計算する．
12. 線積分とグリーンの定理: 線積分を定義し，閉曲線上の線積分と，それで囲まれた領域での2重積分がどのような関係にあるかを学ぶ．
13. 級数，べき級数: 級数が収束するための判定条件，べき級数の収束半径を学ぶ．具体的な関数の級数展開についても学ぶ．
14. 級数，べき級数: 前回の続き
15. まとめ
　　期末試験
（以下は工学部のみです）
基本的には初めの時間に講義を行い，つぎの時間では演習を行います．学期末には統一試験を実施します．

履修条件・関連項目
  微分積分学 I および演習で学ぶ，1変数関数の微分と積分に関する事柄を使います.
授業時間60時間に加え，本学の標準時間数に準ずる予習と復習を行うこと.
テキスト・教科書
  1回目の講義で伝えます．
参考書
  入門微分積分　三宅敏恒　培風館
成績評価の方法
   
教員から一言
  1変数関数の微分積分の概念を自然に2変数関数の微分積分へと拡張します．はじめは難しく感じられるかもしれませんが，1変数関数の応用であることともに，微分積分学の考え方や仕組みが分かれば，計算方法についての理解が深まるでしょう．今後の履修科目である微分方程式や関数論，応用解析の土台となります．
キーワード
  多変数関数，偏微分，2変数関数の極値，重積分，体積・曲面積，級数
オフィスアワー
 

  Division of Mathematical Sciences, Institute of Engineering, Tokyo University of Agriculture and Technology
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