物理システム工学科3年次「物性工学概論」第3回、2003.4.22配付資料

佐藤勝昭教官(量子機能工学分野教授)専門分野:固体物理学

ホームページ:http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/ E-mail: satokats@cc.tuat.ac.jp

 

2(4/15)で学んだことPower pointを使って、金属の特徴と性質について学んだ。

http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/B030415OHP.html

       金属とはなにか:
金属光沢を持ち、電気と熱をよく導き、固体状態では展性・延性に富む物質 (岩波・理化学辞典)

       元素周期表(http://www.hk.airnet.ne.jp/shung/periodic_table_s.htm)

       さまざまな金属元素

       電子のエネルギー準位

       さまざまな金属を図で説明 [WebElementsTM Periodic table http://www.webelements.com/)より]
Ia属(アルカリ金属): Li, Na, K, Rb
IIa
(アルカリ土類): Be, Mg, Ca, Sr, Ba
3d
遷移金属: Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu
貴金属: Cu, Ag, Au
IIb
(亜鉛属): Zn, Cd, Hg
IIIB
(アルミニウム属): Al, Ga, In, Tl
半金属: Sn, Sb, Bi

       金属の機械的性質
金属は、弾性限界を超えた応力に対し永久歪みをともなって変形する。このような変形を塑性(plasticity)という。

    弾性変形と塑性変形の境界点を降伏点という。

    塑性には展性 (malleability) 延性(ductility)がある。

    展性:弾性限界を超えた応力によって物体が破壊されず箔に広げられる性質。

    延性:弾性限界を超えた応力によって物体が破壊されず引き延ばされる性質。硬度の高いものほど延性が小さい。

    脆性破壊(brittle fracture):塑性変形を伴わず、割れの急速な進展によって破壊することである。劈開など。

    疲労破壊(fatigue):繰り返し応力が加わって破壊がおきる現象。軟らかい(硬度の低い)金属は疲労破壊を生じない。 

       応力-歪み曲線(http://www.nsbri.org/HumanPhysSpace/focus6/student2.html)

       金属結合(http://www.chemguide.co.uk/atoms/bonding/metallic.html)
金属においては、原子同士が接近していて、外殻のs電子は互いに重なり合い、各軌道は2個の電子しか収容できないので膨大な数の分子軌道を形成する。
電子は、それらの分子軌道を自由に行き来し、もとの電子軌道から離れて結晶全体に広がる。これを非局在化するという。
正の原子核と負の非局在電子の間には強い引力が働き、金属の凝集が起きる。
この状態を指して、電子の海に正の原子核が浮かんでいると表現される。

       遷移金属はなぜ硬い
金属結合は、原子の外殻電子のうちs,p電子が結晶全体に広がることによって全エネルギーが低下することが原因ですが、このことが通常金属(Na, Mg, Alなど)や貴金属(Cu, Ag, Au)の柔らかさをもたらします。一方、 Fe, Tiなど遷移金属の結合にはd電子が寄与しています。遷移金属では、原子あたりの電子数が多く、電子の海に供給する電子数が多いことが結合の強さをもたらし、高い融点と硬さをもたらしています。

       金属の高い電気伝導率
電気伝導率(導電率) の式s=nem を導こう
電流密度J= 単位時間に単位面積を流れる電荷の総量=nev
速度v = 移動度m × 電界E 
従って J=nem Eº s E→これより s=nem
金属の導電率の高さ→キャリア数nによる

       高い熱伝導率
熱伝導=格子熱伝導+電子熱伝導
電子数が多い→電子熱伝導が大きい:Wiedeman-Franzの法則k/s=LT k=熱伝導率、 s=電気伝導率、L=ローレンツ数、T=絶対温度)

       [] 逆は真ならず。熱伝導がよいからといって電気伝導率が高いとは限らない。例) ダイヤモンド

 

2回の問題

問:金属に応力を加えたとき弾性限界を超えるとどのような現象がおきるか。また、その現象を「結合」により説明せよ。

標準解答:弾性限界を超えた応力を加えると、破壊されずに塑性変形が起き、永久歪み(塑性歪み)が残る。塑性には、延性と展性とがある。さらに歪みが増加するとついに破壊がおきる。(塑性変形は、結晶格子のすべりや転位の発生によりおきるが)金属が弾性限界を超えた変形に対し破壊されないのは、原子同士の結合が結晶全体に広がった電子を媒介にした「金属結合」によっているためと考えられる。

2回の質問

1.        Q: なぜ金はさびないのか。(YT,MK)A. 金の酸化物としてはAu2O3が存在しますが、生成のエンタルピーが正の値をとるので金属のままいる方が安定なのです。(Web: http://matsci.uah.edu/courseware/mts501/reports/sschwitalla.html; Suzanne C. Schwitalla: Why is Au Found in Nature in the Metallic Form and not as an Oxide? 英文ですが)

2.        Q: なぜ銀は酸化して黒くなるのに金はならないのですか(MS)→A: 4 Ag (s) +O2 (g) → 2 Ag2O の反応によるAg2Oの生成のエンタルピーはDHof =-31.1(kJ/mol)と負の値をとるのに対し2Au(s) + 3/2O2(g) = Au2O3(s) の生成エントロピーはDHof = +19,100 (cal/mol)=+4.56(kJ/mol)と正の値をとります。このようにAgの酸化物は安定なのにAuの酸化物は不安定なのです。(Web: http://matsci.uah.edu/courseware/mts501/reports/sschwitalla.html 英文です)

3.        Q: 金属の電子に電界を加えたとき、(原子核の)正電荷とぶつかってどう動くのか。(EST)A. 電子が金属の正電荷から静電的に受ける力は、電子雲の負電荷に遮蔽されて弱くなっているので、あたかも自由電子のように電界で加速できるのです。

4.        Q: 電子軌道の話は何度か聞いたことがあるのですが、s, p, d軌道に何個入るかというのは覚えるべきでしょうか(YD)A. 覚えるべきというより、方位量子数lからすぐにわかるはずです。方位量子数lがわかれば、その状態にいくつの状態が縮退しているかは2l+1によってわかります。(方位量子数lについて、磁気量子数mが、+l, +l-1, ・・・,-l+1, -l2l+1通りの状態をとります。)s電子は、l=0、従って軌道の多重度は2×0+1=1p電子は、l=1、従って2×1+1=3d電子はl=2なので、2×2+1=5です。スピンまで考慮すると、これらを2倍してs2p6d10となります。

5.        Q: パソコンのノイズ対策のために使われている金属は何ですか。板状の金属が得られているのを見たことがありますが。 (SY)A. その金属は、おそらく、パーマロイ(Ni80Fe20)という磁性合金でしょう。パーマロイとは透磁率mの高い合金という意味です。この合金で箱を作ると磁束が中に入らないので電磁シールドとして有効です。

6.        Q: パソコンのケーブルにフェライトコアを付けたりするのはノイズ対策に有効ですか(SY)A. フェライトは組成をコントロールすることによって高周波の損失を大きくできるのでノイズ対策に有効です。

7.        Q: ジャンボ機の翼は、左右をそれぞれ上に上げてくっつけて3秒間は折れないと聞きましたが材料が特別なものですか(H)A: そのニュースソースは何ですか?航空機の機体の材料はアルミニウム合金です。そんな風に曲げたとき、翼そのものより胴体との溶接部分の方が折れそうですが・・・。

2回の授業に対する要望など

[質問回答について]

8.        質問した内容を次週に実名で公開するのは良くない。匿名性が失われるので思い切った質問ができない(M)A. 今週からは、イニシャルにしました。

[授業の進め方について]

9.        授業中に扱ったOHPの出典のWeb siteをプリントに表示して欲しい.(AN)A. 前頁の「第2回の内容」に示しました。

10.     OHPで見せた資料は、なるべく早めにダウンロードできるようにしてください。(KN)A. その日のうちにネットにアップしています。

11.     スライドだと文字が小さかったりノートを取っている途中で画面が変わったりしてちょっとやりにくいです。大事なところはプリントにして欲しいです。(MY)A. 画面を表示する時間を延ばすなど、なるべく要望に応えます。

12.     全くノートを取らないと絶対眠くなってしますので少しポイントなどを書いて欲しい。(IK)A. 黒板とOHPをうまく組み合わせてみたいと思います。

13.     ノートを取りたいと思うのですがスライドだけだとなかなかうまくノートが取れないです。(MT)

14.     ホームページを見ないと、テンポが早くてノートが全く取れません。HPを見て自分で大事なところを覚えろというのですか。(I)A. 応用物理学会なんかに行くと、あの調子でOHPがどんどん出てきます。エッセンスだけをノートにする技術も大切かも。しかし、悪評さくさくなので、三回目から授業のやり方を工夫します。

15.     わからない単語が多すぎて、話がわからなくなる時がある。一度説明したらそれっきりではなく、何回も説明していただけると嬉しいです。(HK)A. 必要な資料は配布なりWeb貼り付けしますので、あとで勉強してください。

16.     さまざまな物性や電子機器の原理に興味があるのですが、量子力学や電磁気学の専門知識に欠けるため、基礎的な話をもっとしていただければと思います。(MST)A. この講義は、基本的にはP科の三年次を対象に組み立てています。P科の学生でも、量子力学や電磁気学が完全に身についているわけでないのですが、そこまで戻っていると授業が進まないのです。他学科の方は、量子力学はそんなところに役立つのだなというくらいに気軽に考えてください。

17.     物理的な見方で金属を考えたことがなかったので面白かった。新材料の研究などには必要な見地なのでこれから役に立つと思うが、物理用語をいっぱい用いられるとわからなくなってしまう。(MKA)A. 物理用語は、そんなものかくらいに聞き流してください。「何か良くわからないけれど、物理的に説明できるのだな」と思っていただければ、農工大の学生の潜在能力なら自分で修得できると信じています。

18.     遷移元素の磁性とスピンの話がよくわからない。正直、量子力学を深く勉強していないので心配です。(EET)A. いきなり量子力学の授業からはいっても、電気の学生にはありがたみがわからないでしょう。この授業を聞いて、「量子力学は、原子の性質を考えるのに役立つのだな」と思って、量子力学を自習すれば、取っつきやすいのではないでしょうか。(因みに、私も工学部電気の出身ですが理学部物理の授業を聴講して独学で量子物理を勉強しました。)

19.     個人的にパソコンを持っていないと何かとつらい。(KN)A. 総合情報メディアセンターなどで使ってください。高級なものでなければ50000円でPCは買えます。PCは就職活動にも絶対必要です。

 

第3回で学ぶこと

キーワード
色と波長,可視光線380nm-780nm
紫外線 -380--430--490--560--590--620--780-赤外線
CIE色度図
色を感じる仕組み:網膜の視細胞(棹状体、錐状体)のうち中心部にある錐状体が色を感じる。
赤、緑、青の3種類の色に感じる細胞がある。3つの細胞の刺激の程度によって色を感じる。カラーテレビでは、CIE色度図の三角形の中の色を表現できる
三刺激値
色の原因:選択反射、選択吸収、干渉、回折、散乱、発光
鉱物の名前と色:金(Au):こがね()、銀(Ag):いろがね()、銅(Cu):あかがね()、鉄(Fe):くろがね()
視細胞は赤、緑、青に感じる3種類のものがあり、その刺激の割合によって色を感じている。銅は赤の反射率は90%以上と高いが、緑と青の反射率が60%程度に落ちているため赤く見える。金は赤と緑の反射率が80%以上と高く青の反射率が50%以下と低くなっている。このため黄色く見える。一方、銀は可視光全域にわたって90%以上の反射率を示すので、白く見える。古来、銅をあかがね、金をこがね(黄金)、銀をしろがねと呼ぶのは、金属の色に基づく。

 貴金属の選択反射の原因は、金属の自由電子の運動だと話したが、これを説明するには物理のことばを使わなくてはならない。まず、光は電磁波の一種であるということを思いだそう。つまりテレビやラジオの電波と同じように電界と磁界が振動しながら伝わっていく。金属中に光がはいると金属中に振動電界ができる。この電界を受けて自由電子が加速され集団的に動く。電子はマイナスの電荷を持っているので、電位の高い方に引き寄せられる。その結果電位の高い方にマイナスの電荷がたまり、電位の低い側にプラスの電荷がたまって、電気分極が起きる。このことは、外から金属に光の電界が進入しようとすると、逆向きの電気分極が生じて電界を遮蔽してしまって光は金属中に入れないことを示す。光が入れないということは、いいかえれば、光が全部反射されてしまうということを意味する。これが、図において低いエネルギーで高い反射率を示す原因である。

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電子分極の古典電子論

 電子分極には、自由電子の電界による強制振動によるものと、束縛電子の正イオンとの相対運動によるものとがある。これを古典的に扱ったのがドルーデ・ローレンツ(Drude-Lorentz)式である。電子分極Pは電子数と電子の変位に比例するので、電界Eのもとでの電子の変位uについての運動方程式を解くことによって電子分極を計算できる。自由電子の運動による項をドルーデの式という。

ここでは、自由電子の運動について述べる。

 電子の位置をu、有効質量をm*、散乱の緩和時間をτとすると、自由電子に対する運動方程式は、

m*d2u/dt2+(m*/t)du/dt=qE                      (1)

で与えられる。ここで、Euにe-iωtの形を仮定し、自由電子による分Pf-Nfquの式に代入し、Dε0εrEε0EPfの式を使うことにより、

er=1-(Nfq2/m*e0)/{w(w+i/t)}=1-wp2/{w(w+i/t)}      (2)

を得る。ここに、wp =( Nfq2/m*e0)1/2は自由電子のプラズマ角周波数である。

 (2)式を実数部、虚数部にわけて書くと、

er=1-wp2/(w2+1/t2)

er=wp2/wt(w2+1/t2)                          (3)

となる。この式をドルーデの式という。自由電子による比誘電率のスペクトルを右図に示す。図のように、ω→0では比誘電率の実数部は−∞に向かって発散し、虚数部は+∞に向かっていく。誘電率の実数部はw=(wp2-1/t2)1/2において0を横切る。負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が起きる。

 実際の場合、(3)の第1項は1ではなく、他の原因による誘電関数の実数部の重なりによる大きなε(∞)をもつ。この場合にεr'=0となるωをωp'とすると、

wp=(wp2/e(\)-1/t2)1/2                        (4)

で表される。これを遮蔽されたプラズマ周波数と呼ぶ。(h/2p)ωp'は、Ptでは約6eVAgは約4eVである。これらの金属の高い反射率は、伝導電子の集団運動による効果として説明される。この運動のエネルギーは量子化されており、プラズモンという素励起として扱われる。

 

等方性連続媒質の中の光の伝搬

  連続媒質中をx方向に進む光の電界ベクトルE

  E=E0exp{-iwt+iw(n+ik)x/c}=E0exp(-wx/c)exp{-iw(t-nx/c)}                                                      (5)

で表される。[*] 上式においてn屈折率κ消光係数である。nkを併せて光学定数という。Nnikを複素屈折率とよぶ。この式の、最初の因子exp(-wk/c)は振幅が距離とともに減衰していく様子を表し,二番目の因子exp{-iw(t-nx/c)}が波の伝搬していく様子を表す。

我々が観測する光の強度Iは波の振幅の絶対値の二乗に比例する量であるから、

|E|2E02exp(-2wk/c)                                                                                       (6)

で表されるが,これは光が物質中を進むときに吸収を受けて弱くなったことを表す.このように、κは光の減衰を表すので消光係数という。

 物質による光の吸収の強さを表すのが吸収係数αである。吸収係数は入射光の強度が1/eになるまでに光が進む距離の逆数である。すなわち、物質中を,0からx[m]まで光が進んだとき,x0においてI(0)であった光強度がxにおいてはI(x)になっていたとすると、

I(x)I(0)exp{-ax}                                                                                                             (7

として、吸収係数αが定義される。吸収係数と消光係数の関係は、式(6)と式(7)を比較して

a2wk/c4pk/l                                                                                                               (8)

と与えられる。ここにlは波長を表す。

 電磁波の伝搬の様子はマクスウェルの方程式を用いて表すことができる。すなわち,SI単位系では、

rotHD/t

rotE=−B/t                                                                                                                     (9)

ここに,EHは,それぞれ,電界[V/m],磁界[A/m]を表すベクトル量である.また,DBは,それぞれ,電束密度[C/m2],磁束密度[T(テスラ)]]を表す。媒質が等方的であり,磁界や電界などがなければ,DEの関係,BHの関係は,スカラーの比誘電率er,比透磁率mr

Dere0E

Bmrm0H                                                                                                                            (10)

と書き表される。e0m0は真空の誘電率および透磁率である.ここに,e0m0=1/c2であることに注意しておこう。

 光の周波数(〜1014Hz)に対しては,比誘電率εr複素数であって、一般に

    εr=εr'iεr"                                                                                                                   (11)

と書き表される[†]

 一方,比透磁率μrは光の周波数においては1とみなせるE, H(5)式のような時間,距離依存性を仮定すると,マクスウェルの方程式(9)から

(N2εr)E=0                                                                                                                     (12)

となり,E0なる解を得るためには

N2εr                                                                                                                                (13)

でなければならない.この式に,Nnεrεr'iεr"を代入して実数部どうし,虚数部どうしを比較すると

εr'n2κ2

εr"2nκ                                                                                                                        (14)

という関係が導かれる。透明媒体を扱っているときκ=0とみなせるので、第1式から

εrn2                                                                                                                                 (15)

が導かれる。この式を使って屈折率のおよその見積もりをすることができる。たとえば、Si単結晶の比誘電率εr11.9である。上式を使うとSiの透明領域の屈折率がn=3.44と求められる。

 また,(14)から、nκεの関数として求めると,

n2=(|ε|εr')/2 

κ2=(|ε|εr')/2                                                                                                                      (16)

が得られる。ここに、r|r'2r"2)1/2である。

負の誘電率と反射率

 空気中から複素屈折率Nの媒体への垂直に入射した光の電界に対する振幅反射率はr=(N-1)/ (N+1)で与えられる。

もし、比誘電率erが負の実数であったとしer­=-a(aは正の数)とすると、式(13)からN=er1/2=ia1/2 であるから、r= ( ia1/2-1)/( ia1/2+1)である。光強度の反射率Rは電界の絶対値の2乗に比例するのでR=|r|2=(a+1)/(a+1)=1、即ち100%となる。

 


貴金属の誘電率の実数部eと虚数部e

Auの屈折率、消光係数、誘電率

E(eV)

n

κ

ε'

ε"

R(%)

0.5

1.27

18.1

-329

47.4

98.5

1

0.375

8.36

-70

6.27

97.9

1.5

0.418

5.13

-26.2

4.3

94.1

2

0.487

3.31

-10.7

3.22

85.1

2.2

0.613

2.64

-6.65

3.22

74.1

2.4

0.878

2.01

-3.27

3.52

53.6

2.6

1.541

1.71

-0.55

5.27

34.3

2.8

1.83

1.81

0.04

6.63

35.2

3

1.95

1.86

0.33

7.27

35.9

34.5

1.97

1.84

0.5

7.22

35.4

4

1.99

1.88

0.43

7.52

36.3

4.4

1.85

1.87

-0.08

6.9

36.3

5

1.64

1.65

-0.06

5.42

32.4

5.5

1.6

1.45

0.46

4.66

27.9

 



[*]電界等の波動は本来実数であるから、cosωtあるいは、exp(-iωt)+cc.と表すべきものであるが、演算の便宜や、形式のシンプルさから,expの形で表す。演算後常に実数部をとることが前提になっている。光学や回路理論では,ふつう電界等の波動をeiωtと表すが,物理学ではe−iωtの形であらわす。

[†]波を表す式として本書では量子論でよく使われるexp(-iωt)の形式を採用したので,ε=ε'+iε",N=n+iκの形になっているが,光学の教科書でよく使われるexp(iωt)を採用するとε=ε'−iε",N=n−iκと書かれる。