物理システム工学科3年次「物性工学概論」:火曜日1限 23番教室

5回配付資料2002.5.14 佐藤勝昭教官(量子機能工学分野教授)専門分野:固体物理学

ホームページ:http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/ E-mail: satokats@cc.tuat.ac.jp

これまでの復習

 物質中での光の伝搬、減衰、屈折、反射などの現象について、光を電磁波として扱い、物質(媒体)は連続体として誘電率という巨視的な量で表されると仮定、マクスウェルの方程式に従って光学定数(屈折率nと消光係数κ)と誘電率の関係などを導いた。

 

今回の授業

 物質における分極を微視的な視点から扱い、古典力学の運動方程式を使って、誘電率の周波数依存性などを考える。

 

4.2 光学現象の微視的機構

 電磁気学によれば、電束密度と電界の間には

=ε=ε0εr=ε0                                                                                           (4.2.1)

という関係がある。は電気分極である。分極は、もともと打ち消しあっていた正の電荷+qと負の電荷-qが、電界によってだけ相対的にずれることによってできる双極子モーメントquの総和quで表される。の1次に比例するとし電気感受率をχとすると、

=ε0χ                                                                                                                               (4.2.2)

となり、

εr=1+χ                                                                                                                               (4.2.3)

と表される。荷電粒子として、イオンを考えた場合をイオン分極といい、電子を考えたとき電子分極という。従って、誘電率は分極の生じやすさをあらわす尺度であるといえる。この節では分極のミクロな起源を考える。

 

4.2.1 イオン分極と赤外吸収

A.イオン分極と誘電率

 イオン分極は、正負のイオンが相対的に変位することによって起きる。相対変位をuとすると、古典的な運動方程式

d2/dt2ω02                                                                                                 (4.2.4)

が成立する。ここでは減衰の項を考えないでおく。はイオン対の換算質量、はイオン対の有効電荷、ω0は横光学モードの格子振動の周波数である。イオン対の数をiとすると分極iiiで与えられるので(4.2.4)式をに関する式に書き直すと、

d2i/dt2+ω02i(i2/)                                             (4.2.5)

ここで、e-iωt+ixの形の解を仮定すると

-ω2+ω02i−(i2/=0                                                                          (4.2.6)

従って、イオン分極による誘電率は

εr=1+i/ε01(iq2/iε0)/(ω2-ω02)                                                    (4.2.7)

で与えられる。減衰については、上式のωをω+i/τと置くことによって考慮することができる。

 

B.ポラリトン

 イオン分極は光学モードの格子振動(フォノン)の横波によって生じるが、Kが光の波数と同程度の小さな値をとるところでは、光の場と分極波が結合してポラリトンという状態を作る。この状態は光と分極がエネルギーのキャッチボールをしている状態であると解釈される。

光の場は、マクスウエルの方程式で与えられるので、

rot/t-iω(ε0+i)

rot-/tiωμ0

となり、を消去すると

−ω2i(c22−ω2)ε00                                                                                 (4.2.8)

(4.2.6)(4.2.8)を連立させて、0でない解を得るためには、永年方程式

ω2-ω02    iq2/

                 =0                                                                       (4.2.9)

ω2    (ω2-c22)ε0

が成立しなければならない。これより、

  ω4-(ω02+iq2/ε0-c22)ε0ω2+ω02c22ε0=0                                                         (4.2.10)

が得られる。これが、ポラリトンの分散を与える式である。ωは図4.2.1に示すように2つの解をもつ。K→0に対してω→0であるような解をポラリトンの下の枝、ω→√ω02+iq2/Mε0となる解をポラリトンの上の枝という。光と分極の結合の結果、エネルギーギャップが生じることがわかる。このエネルギー範囲の光は結晶中に入れず、強い反射を起こす。この反射をReststrahlen反射という。

 

4.2.2 電子分極の古典電子論

 電子分極には、自由電子の電界による強制振動によるものと、束縛電子の正イオンとの相対運動によるものとがある。これを古典的に扱ったのがドルーデ・ローレンツの式である。電子分極は電子数と電子の変位に比例するので、電界のもとでの電子の変位についての運動方程式を解くことによって電子分極を計算できる。

A.自由電子の運動

 電子の位置を,有効質量を*,散乱の緩和時間をτとすると,自由電子に対する運動方程式は,

*d2/dt2(*/τ)d/dtq                                               (4.2.11)

で与えられる。ここで、にe-iωtの形を仮定し、自由電子による分極f-fqの式に代入し、=ε0εr=ε0fの式を使うことにより、

εr1fq2/m*ε0ω2(1+i/ωτ)1−ωp2/ω2(1+i/ωτ)                                            (4.2.12)

を得る。ここに,ωp=√fq2/*ε0は自由電子のプラズマ角周波数である.

 実数部、虚数部にわけて書くと、

εr'=1−ωp2/(ω2+1/τ2)

                                                                                                                                                       (4.2.13)

εr"=ωp2/ωτ(ω2+1/τ2)

となる。この式をドルーデの式という。自由電子による比誘電率のスペクトルを図4.2.2に示す。図のように、ω→0では比誘電率の実数部は−∞に向かって発散し、虚数部は+∞に向かっていく。

誘電率の実数部はω=(ωp21/τ2)1/2において0を横切る。負の誘電率をもつと、光は中に入り込めず、強い反射が起きる。

 実際の場合、(4.2.12)の第1項は1ではなく、他の原因による誘電関数の実数部の重なりによる大きなε()をもつ。この場合にεr'0となるωをωp'とすると、

ωp'(ωp2/ε()1/τ2)1/2                                                                                                                                                            (4.2.14)

で表される。これを遮蔽されたプラズマ周波数と呼ぶ。hωp'は、Ptでは約6eV、Agでは約4eVである。これらの金属の高い反射率は、伝導電子の集団運動による効果として説明される。この運動のエネルギーは量子化されており、プラズモンという素励起として扱われる。

 

価電子帯の電子も自由電子としての集団運動を行う。関与する電子の数が多いので価電子プラズモンの周波数は極紫外領域に現れる。ELS(電子損失分光)の実験をすると、価電子プラズモン周波数の付近に損失のピークが現れる。また、電子の集団運動は表面や界面に敏感で、表面プラズモンがバルクのプラズモンとは別に観測される。

 

 高い密度のキャリアを有する半導体においては、波長が長くなるに従って波長の2乗で増加するような吸収が見られる。これを自由電子吸収と呼んでいる。この効果は基本的には(4.2.13)の第2式

から生じる。吸収係数の式α=2κω/c(ε"/n)(ω/c)に代入して、

α=ωp2τ/nc((ωτ)2+1)                                                                                                    (4.2.15)

を得る。ここに、は屈折率である。ωτ>>1のときαはω2に逆比例する。一般に散乱は周波数分散をもつのでτが周波数依存性をもつためω-2則からずれる。音響フォノン散乱ではαはω-1.5に、光学フォノン散乱の場合はω-2.5に、イオン化不純物散乱ではω-3.5に比例する。

 

問題4.13 (4.2.12)式を導け

略解 (4.2.11)式より、(ω)-q/{m*(ω2+iω/τ)}。自由電子による電子分極は、f-fqと表されるから、f(ω)-fq2/*ω2(1+i/ωτ)。これをε0εr=ε0fに代入する。

 

問題4.14 (4.2.13)式に基づいて自由電子による誘電率のグラフを描いて見よ。

 

B.束縛電子 

 束縛電子についての運動方程式は、電子の位置を,有効質量を*、緩和時間τとすると,

*d2/dt2(*/τ)d/dt*ω02q                                     (4.2.16) 

で与えられる。これより束縛電子による電気分極bを求め、比誘電率を求めると、

εr1−ωb2/(ω2iω/τ−ω02)                                                                                               (4.2.17)   

ここにωb2bq2/*ε0 である。この式の実数部と虚数部は、それぞれ

εr'=1−ωb2(ω2-ω02)/{(ω2-ω02)2+(ω/τ)2}

                                                                                                                                                       (4.2.18)

εr"=ωb2(ω/τ)/{(ω2-ω02)2+(ω/τ)2} 

となる。これはいわゆるローレンツの分散式である。これを図示したのが、図4.2.3である。εr'は分散型のスペクトル、εr"は山型のスペクトルとなっている。

 

問題4.15 (4.3.18)式に従って、束縛電子による誘電率のグラフを描いて見よ。